Question

（2006•河北区一模）如图，已知二次函数的顶点坐标为（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点在y轴上，
（I）求此二次函数的解析式．
（II）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过P点作x轴的垂线PC与（I）中的二此函数的图象交于Q点，设线段PQ的长为m，P点的横坐标为x，求出函数m与自变量x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（III）线段AB上是否存在一点，使（II）中的线段PQ的长等于5？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知抛物线的顶点坐标，可将该抛物线的解析式设为顶点式，要想用待定系数法求出抛物线的解析式，还需找出另外一点的坐标，显然直线AB与y轴的交点A是最好的选择，按此思路求解即可．
（Ⅱ）根据给出的P点横坐标，结合直线AB和抛物线的解析式，先表示出P、Q两点的坐标，它们纵坐标的差即为线段PQ的长．自变量的取值范围可由A、B两点的坐标来确定．
（Ⅲ）将PQ的长代入上题的函数解析式中，能得到一个方程，若方程有解即可得到符合条件的P点坐标；若方程无解，那么就不存在符合条件的P点．

解答：解：（Ⅰ）由直线AB：y=x+2 知，A（0，2）；
已知抛物线的顶点坐标为（2，0），可设其解析式为 y=a（x-2）²，代入A点坐标得：
2=a（0-2）²，a=

1

2

∴抛物线的解析式：y=

1

2

（x-2）²=

1

2

x²-2x+2．

（Ⅱ）已知点P的横坐标为x，则P（x，x+2）、Q（x，

1

2

x²-2x+2）；
则：PQ=（x+2）-（

1

2

x²-2x+2）=-

1

2

x²+3x
由于点P在线段AB上移动，且不与A、B重合，所以 0＜x＜6；
综上，m=-

1

2

x²+3x，0＜x＜6，

（Ⅲ）不存在．
理由：将PQ=5代入（Ⅱ）的函数解析式中，得：
5=-

1

2

x²+3x，化简得：x²-6x+10=0
△=36-40＜0
∴不存在符合条件的P点．

点评：该题是较为简单的二次函数综合题，只要准确得到抛物线的解析式，后面的题目就能迎刃而解．第二小题要注意点的运动范围，以便正确的得到自变量的取值范围．