Question

如图1，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D，AD与BC相交于E点，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一抛物线经过A，E，C三点．
（1）求点E的坐标及此抛物线的表达式；
（2）如图2，如果AB位置不变，将DC向右平移k（k＞0）个单位，求△AEC的面积S关于k的函数表达式；
（3）在第（2）问中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，直线BC的解析式为y=-x-2，把已知坐标代入求得解析式．得出点E的坐标．设经过A，E，C三点的此抛物线表达式为y=ax²+bx+c求出解析式．
（2）证明△ABE∽△DCE，作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，求出EF，EG的值然后可求出S的值．
（3）由2得ABE∽△DCE利用线段比得出AF，BF的值．当AD⊥BC，EF⊥AB时得出△BEF∽△AFE，然后根据线段比求出EF的值．

解答：解：（1）由题意知B（-2，0）、D（1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，-6）、D（1，0）的坐标代入，
解得k=2，b=-2，
∴直线BC的解析式为y=-x-2；
同理求得直线AD的解析式为y=2x-2，
解方程组

y=2x-2 y=-x-2

．
得点E的坐标为（0，-2），
（用其它方法求得点E的坐标可参考得分）
设经过A，E，C三点的此抛物线表达式为y=ax²+bx+c，
则

4a-2b+c=-6 c=-2 a+b+c=-3

，
∴

a=-1 b=0 c=-2

，
∴y=-x²-2．

（2）由题意得D（k+1，0），C（k+1，-3），BD=k+3，
∵AB、CD都垂直于x轴，
∴△ABE∽△DCE，
且SABDC=

9

2

(k+3)，
作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，则
EF=

2

3

(k+3)，
EG=

1

3

(k+3)，
∴S_ABE+S_CDE=

5

2

（k+3）
∴S=

1

2

(SABDC-SABE-SCDE)=k+3．

（3）由（2）知EF=

2

3

(k+3)，
∵△ABE∽△DCE，
∴

AE

ED

=

AB

DC

=

2

1

，
∵EF∥x轴，
∴

AF

FB

=

2

1

，
∴AF=4，BF=2，
当AD⊥BC时，由EF⊥AB得△BEF∽△AFE，
∴EF²=BF•AF=8，
∴EF=2

2

（负根舍去）
∴

2

3

(k+3)=2

2

，k=3

2

-3．

点评：本题考查的是二次函数的有关知识以及相似三角形的判定定理，难度较大．