Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（

3

，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于

3

4

？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即-

4 3

3

＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤-

4 3

3

时，方法同②．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．

解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF=

42-22

=2

3

，
∴点B的坐标是（2

3

，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有

4=b 2=2 3 k+b

．
解得

k=- 3 3 b=4

．
∴直线AB的解析式是y=-

3

3

x+4；

（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=

42+( 3 )2

=

19

．
如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

．
DG=BD•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴OH=EG=

5

2

3

，DH=

7

2

∴点D的坐标为（

5

2

3

，

7

2

）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴

BG

AE

=

DG

BE

=

BD

AB

；而AE=2，BD=OP=

3

，BE=2

3

，AB=4，
则有

BG

2

=

DG

2 3

=

3

4

，解得BG=

3

2

，DG=

3

2

；
∴OH=

5

2

3

，DH=

7

2

；
∴点D的坐标为（

5

2

3

，

7

2

）．

（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于

3

4

．
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=

3

2

t，
∴DH=2+

3

2

t．
∵△OPD的面积等于

3

4

，
∴

1

2

t(2+

3

2

t)=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

，t2=

- 21 -2 3

3

（舍去）
∴点P₁的坐标为（

21 -2 3

3

，0）．
②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD=

4 3

3

=OP，
∴当-

4 3

3

＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，
∴GH=BF=2-（-

3

2

t）=2+

3

2

t．
∵△OPD的面积等于

3

4

，
∴-

1

2

t(2+

3

2

t)=

3

4

，
解得t1=-

3

3

，t2=-

3

，
∴点P₂的坐标为（-

3

3

，0），点P₃的坐标为（-

3

，0）．
③当t≤-

4 3

3

时，如图3，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，

∴DH=-

3

2

t-2．
∵△OPD的面积等于

3

4

，
∴

1

2

（-t）【-（2+

3

2

t）】=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

（舍去），t2=

- 21 -2 3

3

∴点P₄的坐标为（

- 21 -2 3

3

，0），
综上所述，点P的坐标分别为P₁（

21 -2 3

3

，0）、P₂（-

3

3

，0）、P₃（-

3

，0）、
P₄（

- 21 -2 3

3

，0）．

点评：本题综合考查的是一次函数的应用，难度较大．