Question

（1）若按奇偶分类，则2²⁰⁰⁴+3²⁰⁰⁴+7²⁰⁰⁴+9²⁰⁰⁴是

奇

数；
（2）设a=3⁵⁵，b=4⁴⁴，c=5³³，则a、b、c的大小关系是

b＞c＞a

（用“＞”号连接）；
（3）求证：3²⁰⁰²+4²⁰⁰²是5的倍数．

Answer 1

分析：（1）从奇数、偶数的性质入手解答，注意2²⁰⁰⁴+3²⁰⁰⁴+7²⁰⁰⁴+9²⁰⁰⁴的奇偶性与2+3+9的奇偶性相同．
（2）根据有理数大小比较的规律，把3⁵⁵、4⁴⁴、5³³化为指数相同的幂相比较即可．
（3）先分别求出3²⁰⁰²，4²⁰⁰²的个位数字，相加即得3²⁰⁰²+4²⁰⁰²的个位数字是5，从而证明3²⁰⁰²+4²⁰⁰²是5的倍数．

解答：解：（1）2²⁰⁰⁴，3²⁰⁰⁴，7²⁰⁰⁴，9²⁰⁰⁴与2，3，7，9的奇偶性相同，
∵2+3+7+9=21，
因此2²⁰⁰⁴+3²⁰⁰⁴+7²⁰⁰⁴+9²⁰⁰⁴是奇数．
故答案为：奇；

（2）因为3⁵=（3⁵）¹¹；4⁴⁴=（4⁴）¹¹；5³³=（5³）¹¹．
又因为4⁴＞3⁵＞5³，
故4⁴⁴＞3⁵⁵＞5³³，
即b＞c＞a．
故答案为：b＞c＞a．

（3）∵3²⁰⁰²=3^4×500+2，4²⁰⁰²=4^4×500+2，
∴3²⁰⁰²，4²⁰⁰²与3²，4²的个位数字相同，即9，6．
从而3²⁰⁰²+4²⁰⁰²的个位数字是5的倍数．

点评：本题考查了整数的奇偶性问题和尾数特征．乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③a²ⁿ≥0；④aⁿ与a的奇偶性相同；⑤在n^4k+r中（k，r为非负整数，n≠0，0≤r＜4），当r=0时，n^4k+r的个位数字与n⁴的个位数字相同；当r≠0时，n^4k+r的个位数字与n^r的个位数字相同．注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧．第（2）题主要考查了有理数的比较大小．一般方法是化为指数相同的幂，比较底数的大小．