Question

【题目】如图，点A（a，b）是抛物线上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确．

详解：过A.B分别作AC⊥x轴于C.BD⊥x轴于D，则：AC=b，OC=a，OD=c，BD=d；

(1)由于OA⊥OB,易知△OAC∽△BOD，有：

即

∴ac=bd(结论②正确).

(2)将点A.B的坐标代入抛物线的解析式中，有：

…Ⅰ、…Ⅱ；

Ⅰ×Ⅱ,得：即 (结论①正确).

(3),

,

由此可看出,△AOB的面积不为定值(结论③错误).

(4)设直线AB的解析式为：y=kx+h，代入A.B的坐标，得：

ak+h=b…Ⅲ、ck+h=d…Ⅳ

Ⅲ×cⅣ×a，得：

∴直线AB与y轴的交点为(0,2)(结论④正确).

综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，

故选C.