Question

【题目】如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线交于点，．

（1）若，求证：是的切线；

（2）若，，请用表示的半径；

（3）求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r；
（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入，整理等式左边即可得证．

（1）∵

∴，

∵，

∴

又∵，，

∴

即，

∴

∴是的切线；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

解得，

连接，设圆的半径为，则，

在中，，

即，

解得；

（3）证明：连接,

∵，（已证）

∴

又∵，

∴

∴

即，

∴，

即．