Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AE与F，BD⊥BC与B，AE为BC边上的中线，
（1）试说明：AE=CD．
（2）若AC=15cm，求线段BD的长．

Answer 1

分析：要证线段相等，可借助全等三角形进行求解，即可证Rt△ACE≌Rt△CBD，所以BD=EC，再利用线段之间的转化，代入数值求出其长度．

解答：证明：（1）
∵∠ACB=90°，CD⊥AE，
∴∠CAE+∠AEC=90°，∠AEC+∠BCD=90°
∴∠BCD=∠EAC，
又∵∠CBD=∠ACE=90°，AC=CB，
∴Rt△ACE≌Rt△CBD，
∴AE=CD；

（2）∵AE为BC边上的中线，
∴EC=BE=

1

2

BC，
又∵AC=BC，AC=15，
∴CE=

15

2

=7.5，
由（1）知Rt△ACE≌Rt△CBD，
∴BD=EC，
∴BD=7.5cm．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．