Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在点A，使得∠APC＝30°，则称P为⊙C的半角关联点．

当⊙O的半径为1时，

（1）在点D（，﹣），E（2，0），F（0，）中，⊙O的半角关联点是　 　；

（2）直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的半角关联点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）D，E；（2）≤m≤0.

【解析】

（1）由题意可知在圆上存在点A使∠ADO＝30°和∠AEO＝30°；

（2）根据解析式求出M与N的坐标，以O为圆心，ON长为半径画圆，交直线MN 于点G，可得m≤0；设小圆⊙O与y轴负半轴的交点为H，连接OG，HG；由边角关系确定△OGN是等边三角形，可知GH⊥y轴，点G的纵坐标为﹣1，代入，可得，横坐标为 ，结合图形即可求解；

（1）由题意可知在圆上存在点A使∠ADO＝30°和∠AEO＝30°，

∴D，E是，⊙O的半角关联点，

故答案为D，E；

（2）由直线解析式可直接求得

，

以O为圆心，ON长为半径画圆，交直线MN 于点G，

可得m≤0，

设小圆⊙O与y轴负半轴的交点为H，

连接OG，HG∵M（，0），N（0，-2）

∴OM＝，ON＝2，

tan∠OMN＝

∴∠OMN＝30°，∠ONM＝60°

∴△OGN是等边三角形

∴GH⊥y轴，

∴点G的纵坐标为﹣1，代入，

可得，横坐标为，

∴m≥，

∴≤m≤0；