Question

21、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q．
求证DP+DQ是定值．

Answer 1

分析：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，然后判定△AQP为等腰三角形，从而证明DP+DQ=2AM，问题得证．

解答：证明：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，（2分）
∴四边形AMDN为矩形．
∴AM=DN．
∵DP⊥BC，
∴∠B+∠P=90°．
∴∠C+∠DQC=90°．
又∵∠C=∠B，∠DQC=∠PQA
∴∠AQM=∠P．
∴△AQP为等腰三角形．
∴PN=QN．（4分）
∴DP+DQ=DN+NP+DQ
=DN+NQ+DQ
=2AM，（5分）
即DP+DQ是定值．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，证明线段的和为定值的问题比较少见．