Question

已知⊙M的直径AB的两侧有定点O和动点P，点A在x轴上，点B在y轴上，点P在

AB

上运动，过O作OP的垂线，与PB的延长线交于点Q，且AB=10．
（1）当点P运动到

AB

的中点时，求BP的长；
（2）若A（6，0），当点P运动到与点O关于AB对称时，求OQ的长；
（3）若tan∠OPQ=

5

4

，当点P运动到什么位置时，OQ取到最大值，并求此时OQ的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆心角、弧、弦间的关系推知OP经过圆心M，所以在直角△BMP中，由勾股定理来求BP的长度；
（2）通过相似三角形△QOP∽△BOA的对应边成比例得到

OQ

OB

=

OP

OA

，即

OQ

8

=

9.6

6

，则易求OQ=12.8；
（3）根据正切三角函数的定义得到

OQ

OP

=

5

4

，则OQ=

5

4

OP．当OP是⊙M的直径时OQ取得最大值，再把AB的长代入进行计算即可．

解答：解：（1）如图，连接AP．
∵AB是⊙M的直径，点P是

AB

的中点，
∴BP=AP，PO⊥AB，
∴OP垂直平分AB，即OP经过圆心M，
∴在直角△BMP中，BP=

2

BM=5

2

；

（2）如图，∵A（6，0），
∴OA=6．
∴在直角△AOB中，AB=10，OA=6，OB=

AB2-OA2

=

102-62

=8．
∵点P与点O关于AB对称，AB是直径，
∴OP⊥AB，且OF=PF，
∴

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OF，即

1

2

×6×8=

1

2

×10×OF，则OF=4.8．
∴OP=9.6．
∵∠QPO=∠BAO，∠QOP=∠BOA=90°，
∴△QOP∽△BOA，
∴

OQ

OB

=

OP

OA

，即

OQ

8

=

9.6

6

，则OQ=12.8；

（3）∵tan∠OPQ=

5

4

，
∴

OQ

OP

=

5

4

，
∴OQ=

5

4

OP．
∵点P是

AB

上的动点，
∴当OP是直径时，OP取最大值10，
∴OQ_最大=

5

4

×10=

25

2

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及圆周角定理等知识，难度适中．