Question

【题目】抛物线：与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及两点的坐标；

（2）求抛物线的顶点坐标；

（3）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移个单位长度，得到抛物线．①若抛物线的顶点在内，求的取值范围；②若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）①，②或

【解析】

（1）将点代入，即可得到抛物线的解析式；在中，令，即可得到两点的坐标；

（2）运用配方法，将解析式改写成顶点式，即可得到顶点坐标；

（3）①先写出平移后的解析式，求出顶点，再根据顶点在内，需满足顶点需在轴下方，在直线的右侧，的左侧，列出关于的不等式组，解出即可；

②分为抛物线和线段的唯一交点在抛物线对称轴右侧；抛物线和线段的唯一交点在抛物线对称轴左侧，且在点B的左侧；抛物线和线段的唯一交点在抛物线对称轴左侧，点B为和线段交点三种情况讨论.

解：（1）∵将点代入，

∴，

∴，，

∴，

∵,

∴

∴抛物线的解析式为

在中，令，得，，

∵在的左侧，∴，

（2）∵即，

∴抛物线的顶点坐标为

（3）①将抛物线平移后的解析式为：，

顶点为（），

若要顶点在内，则顶点需在轴下方，在直线的右侧，的左侧，

因为，所以，顶点必在轴下方，因为，所以顶点必在的右侧，

设直线的解析式为，

∵，，

∴解得，

∴直线的解析式为

当时，.

∴，，

又∵

∴的取值范围是

②第1种情况，抛物线和线段的唯一交点在抛物线对称轴右侧，

则抛物线和直线只有一个交点，且顶点的横坐标小于等于3，

联立抛物线和直线解析式，

则有两个相等的根，且小于等于3，

∴，且，

∴；

第2种情况，抛物线和线段的唯一交点在抛物线对称轴左侧，且在点B的左侧，

则点B在抛物线的上侧，

即当时，，解得；

第3种情况，抛物线和线段的唯一交点在抛物线对称轴左侧，点B为和线段交点，

时，，且

解得；

综上所述：或.