Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；
②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB-PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．
（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC-BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．
（3）本题要分类讨论：
①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；
②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN-CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．
③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值．

解答：解：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，
有题意可得：PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴

QP

CQ

=

AB

BC

，
∴

QP

x

=

3

4

，
解得：QP=

3

4

x，
∴PM=3-

3

4

x，
由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
P点坐标为（x，3-

3

4

x）．

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4-x，
NC边上的高为

3

4

x，其中，0≤x≤4．
∴S=

1

2

（4-x）×

3

4

x=

3

8

（-x²+4x）
=-

3

8

（x-2）²+

3

2

．
∴S的最大值为

3

2

，此时x=2．

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=x．
∴3x=4，
∴x=

4

3

．
②若CP=CN，则CN=4-x，PQ=

3

4

x，CP=

5

4

x，4-x=

5

4

x，
∴x=

16

9

；
③若CN=NP，则CN=4-x．
∵PQ=

3

4

x，NQ=4-2x，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（4-x）²=（4-2x）²+（

3

4

x）²，
∴x=

128

57

．
综上所述，x=

4

3

，或x=

16

9

，或x=

128

57

．

点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识点．