Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（-2，-5）．求：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的最值；
（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据三点坐标代入求出a，b，c来确定二次函数解析式；
（2）先看二次函数的二次项系数为负，函数开口向下，则求其定点y值即可；（3）当CA=CB时，可求得B点的坐标，当AC=AB时，当BA=BC时即能求得点B坐标即可．

解答：解：（1）因为二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（0，3）
所以c=3．所以y=ax²+bx+3．
又二次函数y=ax²+bx+3的图象经过点（3，0），（-2，-5），

9a+3b+3=0 4a-2b+3=-5.

，
解这个方程组得：

a=-1 b=2.

，
所以这个二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）因为a=-1＜0，
所以函数有最大值，
当x=1时，函数的最大值为：4；

（3）当CA=CB时，可求得B点的坐标为：（1，-4）；
当AC=AB时，可求得B点的坐标为：(1，4-2

5

)，(1，4+2

5

)；
当BA=BC时，可求得B点的坐标为：(1，

3

2

)．
综上所述B点的坐标分别为（1，-4），(1，4-2

5

)，(1，4+2

5

)，(1，

3

2

)．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了三点求其函数式，有二次函数的一般式求得其顶点坐标，以及函数图象与三角形的结合求解．