Question

如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE=AC
（1）求∠ACE、∠CAE的度数；
（2）若AB=3cm，请求出△ACE的面积；
（3）以AE为边的正方形的面积是多少？

Answer 1

分析：（1）根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ACB=45°，再根据邻补角的定义列式计算即可求出∠ACE，根据等边对等角的性质可得∠CAE=∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可求出∠CAE；
（2）根据勾股定理列式求出AC的长，即CE的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出AE，再根据正方形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-45°=135°，
∵CE=AC，
∴∠CAE=∠E，
∵∠CAE+∠E=∠ACB，
∴∠CAE=

1

2

∠ACB=

1

2

×45°=22.5°；

（2）∵AB=3cm，
∴根据勾股定理得，AC=

32+32

=3

2

cm，
∴CE=AC=3

2

cm，
故△ACE的面积=

1

2

CE•AB=

1

2

×3

2

×3=

9 2

2

cm²；

（3）在Rt△ABE中，BE=3+3

2

，
所以，AE=

AB2+BE2

=

32+(3+3 2 )2

=

36+18 2

，
所以，以AE为边的正方形的面积=AE²=（

36+18 2

）²=（36+18

2

）cm²．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及勾股定理的应用．