Question

如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且∠AHO=30°．
（1）求k的值；
（2）设点N（1，a）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标，从而可求K的值；
（2）根据一次函数解析式可求N点坐标；作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N与y轴的交点就是满足条件的P点位置．

解答：解：（1）由y=x+1可知A（0，1），即OA=1．
∵tan∠AHO=tan30°=

3

3

，∴OH=

3

．
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为

3

．
∵点M在直线y=x+1上，
∴点M的纵坐标为

3

+1．即M（

3

，

3

+1）．
∵点M在y=

k

x

上，
∴k=

3

×（

3

+1）=3+

3

；

（2）存在．
过点M作M关于y轴的对称点M′，连接M′N，交y轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（1，a）在反比例函数y=

3+ 3

x

（x＞0）上，
∴a=3+

3

，即点N的坐标为（1，3+

3

），
∵M与M′关于y轴的对称，M点坐标为（

3

，

3

+1），
∴M′的坐标为（-

3

，

3

+1），
设直线M′N的解析式为y=ax+b．
由

3+ 3 =a+b 3 +1= 3 a+b

，
解得：

a=- 3 -1 b=2 3 +4

，
∴直线M′N的解析式为：y=（-

3

-1）x+2

3

+4，
令x=0，得y=4+2

3

．
∴P点坐标为（0，4+2

3

）．

点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，得出P点位置是解题关键．