Question

已知直线（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂，…，
依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求设△A₁OB₁的面积S₁；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，所以分别令y=0，x=0，即可求出A₁和B₁的坐标，从而求出△A₁OB₁的面积S₁；
（2）要求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值，需要找出S_n的规律，因为n=2时，y₂=-，所以分别令y=0，x=0即可求出A₂（，0），同理可求出A₂，A₃…所以推出当n=n时，y_n=x+，分别令y=0，x=0，即可求出A_n（，0），B_n（0，），所以S_n=，整理即可求出答案．
解答：解：（1）∵y₁=-2x+1，
∴A₁（，0），B₁（0，1），
∴S₁==；

（2）∵y₂=-，
∴A₂（，0），B₂（0，）
故S₂=，
∵y₃=-，
∴A₃（，0），B₃（0，），
故S₃=，
…
∵y_n=x+，
∴A_n（），B_n（0，），
故S_n=，
∵=，
∴S₁+S₂+…+S₆=（…）
=[（1-）+（-）+…+（）]=（1-）=．
点评：本题是一道推理性极强的题目，主要考查一次函数的基本的性质及特殊点的坐标，解题的关键是寻找规律．