Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．

（1）如图1，若点C的横坐标为4，求点B的坐标；

（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．

（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

 

Answer 1

【答案】

(1) B（0，-4）;(2) D（-1，0）;(3) S_△BEM：S_△ABO=1：2.

【解析】

试题分析：(1) 一般情况下,给了一个点的横坐标,都把这个点的横坐标作出来, 作CM⊥y轴于点M，要想求出B点坐标,只需要求出线段OB的长度,直观上看△BCM≌△ABO ,找全等的条件, 因为∠ABC=∠AOB=90゜，

所以∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，所以∠CBM=∠BAO，再由题目中的条件,全等的条件已经够了,在△BCM和△ABO中, ∠CBM=∠BAO, ∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,所以△BCM≌△ABO（AAS），OB=CM=4，

B（0，-4）;(2) 要想求出D点坐标,只需要求出线段OD的长度,但条件中与OD关联的条件很少,考虑作辅助线,作CM⊥x轴于点M，交AB的延长线于点N，则∠AMC=∠AMN=90°，因为点C的纵坐标为3，所以CM=3，

因为AD平分∠CAB，所以∠CAM=∠NAM，所以△AMC≌△AMN（ASA），所以CM=MN=3，CN=6，因为CM⊥AD，∠CBA=90°，所以∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，因为∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，所以∠NCB=∠BAD，所以△CBN≌△ABD（ASA），所以AD=6，因为A（5，0），D（-1，0）;(3) 作EN⊥y轴于点N，因为∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，所以∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

所以∠NBE=∠BAO，所以△ABO≌△BEN（AAS），所以△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，因为∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，所以△BFM≌△NEM（AAS），所以BM=NM，因为△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，所以S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，即S_△BEM：S_△ABO=1：2．S_△BEM：S_△ABO=1：2.

试题解析：

（1）如图1，作CM⊥y轴于点M，则CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90゜，

∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM和△ABO中, ∠CBM=∠BAO, ∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，

∴B（0，-4）．

（2）如图2，作CM⊥x轴于点M，交AB的延长线于点N，

则∠AMC=∠AMN=90°，

∵点C的纵坐标为3，

∴CM=3，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAM=∠NAM，

在△CAM和△NAM中, ∠AMC=∠AMN=90°,AM=AM,∠CAM=∠NAM，

∴△AMC≌△AMN（ASA），

∴CM=MN=3，

∴CN=6，

∵CM⊥AD，∠CBA=90°，

∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，

∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，

∴∠NCB=∠BAD，

在△CBN和△ABD中, ∠CBN=∠ABD,CB=AB, ∠NCB=∠BAD,

∴△CBN≌△ABD（ASA），

∴AD=CN=2CM=6，

∵A（5，0），

∴D（-1，0）．

（3）如图3，作EN⊥y轴于点N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，

∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠NBE=∠BAO，

在△ABO和△BEN中, ∠ENB=∠BOA, ∠NBE=∠BAO，AB=BE,

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，

∴在△BFM和△NEM中, ∠FBM=∠BNE , ∠BMF=∠NME,NE=BF,

∴△BFM≌△NEM（AAS），

∴BM=NM，

∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，

∴S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，

即S_△BEM：S_△ABO=1：2．

考点：全等三角形的证明方法.