Question

已知直线y=kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²-x+c交于点A和点C(

1

2

，

5

4

)，抛物线的顶点为D．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在坐标系中画出两个函数图象；
（2）求△ABD的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,一次函数的图象,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的图象

专题：计算题

分析：（1）把C（

1

2

，

5

4

）代入y=kx+1可求出k，则可确定直线的解析式；再确定A点坐标，然后把A（-2，0）、C（

1

2

，

5

4

）代入y=ax²-x+c得到关于a、c的方程组，解方程组求出a、c即可确定抛物线的解析式；
（2）利用描点法画出两函数的图象；
（3）先得到抛物线顶点D的坐标为（-

1

2

，

9

4

），B点坐标为（0，1），
然后利用S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE进行计算．

解答：解：（1）把C（

1

2

，

5

4

）代入y=kx+1得

5

4

=

1

2

k+1，解得k=

1

2

，
所以直线的解析式为y=

1

2

x+1；
令y=0，则

1

2

x+1=0，解得x=-2，
所以A点坐标为（-2，0），
把A（-2，0）、C（

1

2

，

5

4

）代入y=ax²-x+c得

4a+2+c=0 1 4 a- 1 2 +c= 5 4

，解得

a=-1 c=2

，
所以抛物线的解析式为y=-x²-x+2；
（2如图，
（3）设抛物线的对称轴交x轴于D点，
抛物线顶点D的坐标为（-

1

2

，

9

4

），B点坐标为（0，1），
∵S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE，
∴S_△ABD=

1

2

×

3

2

×

9

4

+

1

2

（1+

9

4

）×

1

2

-

1

2

×1×2
=

27

16

+

13

16

-1
=

3

2

．

点评：本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．