题目内容

实数x、y满足 $数学公式$ ，求xy的最小值和最大值．

解：∵2（x²+y²）≥（x+y）²，
∴2（4a²-2a+2）≥（3a-1）²，
即a²-2a-3≤0，
∴-1≤a≤3；
xy= $\text{[math]}$ [（x+y）²-（x²+y²）]= $\text{[math]}$ （5a²-4a-1）
令f（a）=5a²-4a-1，则 $\text{[math]}$ ，
故当 $\text{[math]}$ 时，f（a）有最小值 $\text{[math]}$ ，当a=3时有最大值32．
故xy的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为16．
分析：根据不等式的性质知：2（x²+y²）≥（x+y）²，据此求出a的取值范围-1≤a≤3；然后再根据完全平方公式求出
xy= $\text{[math]}$ [（x+y）²-（x²+y²）]= $\text{[math]}$ （5a²-4a-1），令f（a）=5a²-4a-1，这是关于a的二次函数，根据二次函数的单调性求其最值．
点评：本题考查了一元二次不等式及二次函数的最值．求二次函数的最值时，借助于完全平方公式，将一元二次方程的一般形式转化为顶点式，便于求最值．