Question

已知△ABC的三条长a、b、c满足b+c=8，bc=a²-12a+52，则△ABC的形状一定是

1. A.
   等腰三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   等腰直角三角形
4. D.
   无法确定

Answer 1

A
分析：先根据b+c=0可得b=8-c①，再把①代入bc=a²-12a+52中，并进行配方运算，可得（a-6）²+（c-4）²=0，
结合非负数的性质易求a、c，进而可求b，再利用勾股定理的逆定理易判断此三角形不是直角三角形，从而可知此三角形是等腰三角形．
解答：由b+c=0可得
b=8-c①，
把①代入bc=a²-12a+52中得
a²-12a+52+c²-8c=0，
即a²-12a+36+c²-8c+16=0，
那么（a-6）²+（c-4）²=0，
∴a=6，c=4，
且b=4，
∴b=c=4，a=6，
又∵4²+4²≠6²，
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
点评：本题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解题的关键是把b=8-c代入另一个已知条件中进行配方处理．