Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（点D不能到达点B、C），连接AD，作∠ADE=45°，DE交AC于E．当△ADE为等腰三角形时，线段AE的长为

1或4-2

2

．

Answer 1

分析：分类讨论：当EA=ED，△ADE为等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠EAD=45°，∠AED=90°，则AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，然后根据等腰直角三角形的性质得到DE=

1

2

AC=1；当DA=DE，△ADE为等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，而∠EDC+∠DEC=135°，所以∠ADB=∠DEC，根据三角形相似的判定得到△ABD∽△DCE，则BD：CE=AB：DC=AD：DE，利用AD=DE得到AB=DC=2，BD=CE；由于∠BAC=90°，AB=AC=2，跟级等腰直角三角形的性质得BC=2

2

，所以BD=2

2

-2=EC，然后根据AE=AC-EC进行计算．

解答：解：当EA=ED，△ADE为等腰三角形，
∵∠ADE=45°，
∴∠EAD=45°，∠AED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，如图，
∵AB=AC=2，
∴DE=

1

2

AC=1；
当DA=DE，△ADE为等腰三角形，如图，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，
而∠EDC+∠DEC=135°，
∴∠ADB=∠DEC，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴BD：CE=AB：DC=AD：DE，
而AD=DE，
∴AB=DC=2，BD=CE，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=

2

AC=2

2

，
∴BD=2

2

-2=EC，
∴AE=AC-EC=2-（2

2

-2）=4-2

2

．
故答案为1或4-2

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应线段的比等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质．