Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据抛物线y＝经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可； 　　(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可． 　　(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可； 　　(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON＝，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可． 　　解答：解：(1)∵抛物线y＝经过点B(0，4) 　　∴c＝4， 　　∵顶点在直线x＝上， 　　∴； 　　∴所求函数关系式为； 　　(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4， 　　∴AB＝， 　　∵四边形ABCD是菱形， 　　∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， 　　∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)， 　　当x＝5时，y＝， 　　当x＝2时，y＝， 　　∴点C和点D都在所求抛物线上； 　　(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， 　　设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b， 　　则， 　　解得：， 　　∴， 　　当x＝时，y＝， 　　∴P()， 　　(4)∵MN∥BD， 　　∴△OMN∽△OBD， 　　∴即得ON＝， 　　设对称轴交x于点F， 　　则(PF＋OM)·OF＝(＋t)×， 　　∵， 　　()×＝， 　　S＝(－)， 　　＝－(0＜t＜4)， 　　S存在最大值． 　　由S＝－(t－)2＋， 　　∴当S＝时，S取最大值是， 　　此时，点M的坐标为(0，)． 　　点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．

提示：

考点：二次函数综合题．