Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？试证明之；
（2）△APE与哪个三角形相似？试证明之；
（3）如果PE=4，EF=5，求线段PC的长．

Answer 1

解：（1）△APD≌△CPD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=DA，∠CDP=∠ADP，DP公共．
∴△APD≌△CPD．

（2）△APE∽△FPA．
∵根据（1）的结论知道∠DCP=∠DAP，而CD∥AF，
∴∠F=∠DAP，
由（1）△APD≌△CPD，可得∠DCR=∠DAP，
∴∠F=∠DCP，
∴APE∽△FPA．

（3）根据（1），（2）可以得到．
分析：（1）△APD与△CPD全等．根据菱形的性质可以找到全等条件；
（2）△APE∽△FPA，根据（1）的结论知道∠DCP=∠DAP，而根据CD∥AF得到∠F=∠DAP，这样就可以证明它们相似；（3）根据（1），（2）可以得到．
点评：此题主要考查了菱形、相似三角形和全等三角形的性质与判定．