Question

如图，圆O与直角三角形ABC的边AB，AC相切于D、E，已知∠BAC=60°，AB=4cm，圆O的半径为1cm，则AD=

 

cm；若圆O在三角形内沿内壁以每秒1cm的速度匀速滚动，则滚动一周所用的时间是

 

秒．

Answer 1

分析：（1）连接OA和OD，根据切线的性质可知：OD⊥OA．在Rt△AOD中，利用三角函数定义可求AD的长；
（2）通过⊙O与Rt△ABC各边相切，可将⊙O所滚动的路线求出．

解答：解：（1）连接OA，OD．
∵圆O与直角三角形ABC的边AB，AC相切于点D、点E，
∴∠OAD=

1

2

∠BAC=30°．
∵OD=1，
∴AD=cot30°×OD=

3

；

（2）连接CO₁，NO₁
在Rt△ABC中，BC=4

3

，AC=8，
⊙O在Rt△ABC中所滚动的路线为Rt△OO₁O₂的周长．
∵AB=4，AD=

3

，BP=1，
∴OO₂=4-1-

3

=3-

3

．
∵CN=cot（

1

2

∠C）×NO₁=cot15°×1=2+

3

，BC=4

3

，
∴O₁O₂=4

3

-（2+

3

）-1=3

3

-3．
∴OO₁=8-（2+

3

）-

3

=6-2

3

．
∴Rt△OO₁O₂的周长为6-2

3

+3

3

-3+3-

3

=6．
∴⊙O滚动一周所用的时间为

6

1

=6秒．

点评：在解决本题时应将圆所滚动的运动轨迹求出．本题中涉及到了切线的性质，解直角三角形和勾股定理的运用．