Question

【题目】在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，

∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°．

∴C（1，1）．

设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

则有 ，

∴

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如图1所示，

设直线PC与AB交于点E．

∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，

∴ = 或 =3，

过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．

∴△BEF∽△BAO，

∴ ．

∴当 = 时， ，

∴EF= ，BF= ，

∴E（﹣ ， ）

∴直线PC解析式为y=﹣ x+ ，

∴﹣ x2+ x+2=﹣ x+ ，

∴x1=﹣ ，x2=1（舍去），

∴P（﹣ ， ），

当 时，同理可得，P（﹣ ， ）

（3）

解：设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S．

(i) 当0＜t＜ 时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．

由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为M（ ，0）．

C1B2的解析式为y= x+t+ ，C1B2与y轴交点坐标为N（0，t+ ）．

①如图2，当C1D1在y轴右侧时，即0＜t≤ 时，重叠部分是现四边形ONQM，

设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ．

由 ，

∴ ，

∴Q（ ， ）．

∴S=S△QMO+S△QON

= × × + ×（t+ ）×

=﹣ t2+t+

=﹣ （t﹣ ）2+ ．

∵0＜t≤ ，

∴当t= 时，S的最大值为 ．

②如图4，当C'D'在y轴左侧，即： ＜t＜ 时，点C'在△A'MO内部，其重叠部分是四边形C'QMD'，

同（Ⅰ）的方法得出：Q（ ， ）．

∴S=S△QMD'+S△QON

= ×[ ﹣（2t﹣1）]× + ×1×[ ﹣（2t﹣1）]

=﹣ t2+1

∵ ＜t＜ ，

∴S＜ ＜

（ii）如图3所示，

当 ≤t＜ 时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形．

设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G．

∴G（1﹣2t，4﹣5t），

∴D1H= +1﹣2t= ，D1G=4﹣5t．

∴S= D1H×D1G= × ×（4﹣5t）= （5t﹣4）2．

∴当 ≤t＜ 时，S的最大值为 ．

综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为 ．

【解析】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（ ，0）．C1B2的解析式为y= x+t+ ，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+ ），再分两种情况进行计算即可．