Question

已知正三角形A₁B₁C₁的边长为1，作△A₁B₁C₁的内切圆⊙O，再作⊙O的内接正三角形A₂B₂C₂，继续作△A₂B₂C₂的内切圆，…，如此作下去，则正三角形A_nB_nC_n的边长为（　　）

• A、

  1

  2n

• B、

  1

  2n-1

• C、

  1

  ( 3 )n

• D、不能确定

Answer 1

分析：根据题意，得内接正三角形A₂B₂C₂的边心距是正三角形A₁B₁C₁的边心距的

1

2

，根据两个三角形相似，得它们的边长比也是

1

2

，则正三角形A_nB_nC_n的边长是

1

2n-1

．

解答：解：∵正三角形A₁B₁C₁的边长为1，
∴内接正三角形A₂B₂C₂的边心距是正三角形A₁B₁C₁的边心距的

1

2

，
又∵两个三角形相似，
∴它们的边长比也是

1

2

，
∴正三角形A_nB_nC_n的边长是

1

2n-1

．
故选B

点评：注意：所有的正三角形相似，且相似比等于它们的边心距的比．