Question

如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E．
（1）写出图中与△CAE相似的所有三角形；
（2）求证：DI=DB；
（3）求证：DI²=DE•DA．

Answer 1

分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，再由角平分线定义，则△DBE∽△ABC，△DAB∽△ABC；
（2）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；
（3）证△DBE∽△DAB，得DB²=DE•DA，再由（2）得DI²=DE•DA．

解答：（1）解：与△CAE相似的所有三角形：△DBE，△DAB；
∵∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，
∴△DBE∽△CAE；
∵∠C=∠D，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAC，
∴△DAB∽△CAE；

（2）证明：连接BI，CI，CD，
∵I为内心，
∴AI为∠BAC角平分线，
BI为∠ABC平分线，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠DAC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAI，
∠CBD=∠DAC=∠BAI，
∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI，
∴△DBI为等腰三角形，
∴DB=DI；

（3）证明：∵∠DBE=∠CAD，∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠EBD，
∴△DBE∽△DAB，
∴

DB

DA

=

DE

DB

，
∴DB²=DE•DA，
又∵DB=DI（已证），
∴DI²=DE•DA．

点评：本题考查了三角形的相似和性质以及三角形的内切圆与内心，证明此题的关键是连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形．此题难度较大，属于难题．