Question

如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式．

（2）求∠ACO的度数．

（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，

把A（0，），B（2，0）分别代入，得，解得k=﹣，b=2

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2；

∵点D（﹣1，a）在直线AB上，

∴a=+2=3，即D点坐标为（﹣1，3），

又∵D点（﹣1，3）在反比例函数的图象上，

∴m=﹣1×3=﹣3，

∴反比例函数的解析式为：y=﹣；

（2）由，解得或，

∴C点坐标为（3，﹣），

过C点作CE⊥x轴于E，如图，

∴OE=3，CE=，

∴OC==2，

而OA=2，

∴OA=OB，

又∵OB=2，

∴AB==4，

∴∠OAB=30°，

∴∠ACO=30°；

（3）∵∠ACO=30°，

而要OC′⊥AB，

∴∠COC′=90°﹣30°=60°，

即△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为60°时，OC′⊥AB；如图，

∴∠BOB′=60°，

而∠OBA=60°，

∴△OBB′为等边三角形，

∴B′在AB上，BB′=2，

∴AB′=4﹣2=2．