Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．

⑴ 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵ 判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶ 点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =∴抛物线的解析式为y=x²-x-2.
y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴顶点D的坐标为 (, -).
（2）当x = 0时y = -2,      ∴C（0，-2），OC = 2。
当y = 0时， x²-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ = 4,    ∴B (4,0)
∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.
∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².          ∴△ABC是直角三角形.
（3）设直线C′D的解析式为y =" kx" + n ,

则，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴当y = 0时， ，
 .  ∴.

解析