Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①。
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m-n-1=0，求证方程①有一个实数根为1。
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a，当x=2时，关于m 的函数y₁=nx+am与y₂=x²+a（n-2m）x+m²-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y₁、 y₂的图象分别交于点C、D，当l沿AB由点A平移到点B时，求这个过程中线段CD的最大值。

Answer 1

解：（1）△=（n-2m）2-4（m2-mn）=n2 ∵n2≥0， ∴△≥0， ∴方程①有两个实数根； （2）由m-n-1=0，得m-n=1， 当x=1时， 等号左边=1+n-2m+m2-mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0， 等号右边=0， ∴左边=右边， ∴x=1是方程①的一个实数根；
（3）解：由求根公式，得x= ∴x=m或x-=m-n， ∵m-n-10， ∴m-n=1，n=m-1， ∴a=m， 当x=2时，y1=2n+m2=2（m-1）+ m2=m2+2m-2， y2=22+2m（n-m-m）+m（m-n）= 4+2m（-l-m）+m=-2m2-m+ 4， 如图，当l沿AB由点A平移到点B 时， CD=y2-y1=3m2-3m+6=-3（m+）2+ 由y1=y2，得m2+2m-2=-2m2-m+4， 解得m=-2或m=1 ∴mA=-2，mB=1 -2<-<1， ∴当m=-时，CD取得最大值。