题目内容
如图①，在梯形ABCD中，AB=BC=10 cm，CD=6 cm，∠C=∠D=90°，如图②，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止．（1）设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为S（cm2），求S（cm2）关于t（秒）的函数关系式；并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
分析：（1）本题要分类进行讨论：
①当P在AB上运动时，即0≤t≤10时，可分别过P，A作BC的垂线，通过构建的相似三角形求出BQ边上的高，由此可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
②当P在AD上运动时，即10≤t≤12时，Q点已停止运动，因此△BPQ的底边BQ的长不会变化，而BQ边上的高为CD的长，也不变，因此此时△BPQ的面积为定值S=
BC•CD．
③当P在CD上运动时，即12≤t≤18是，Q点停止运动，BQ长不变，BQ边上的高为PC，PC的长可用AB，AD，CD三边的和减去P点运动的路程来求得．然后根据三角形的面积公式即可求出S，t的函数关系式．
（2）根据（1）的分段函数即可求出不同的自变量的取值范围内，S的最大值，然后比较即可得出S的最大值及对应的t的值．
①当P在AB上运动时，即0≤t≤10时，可分别过P，A作BC的垂线，通过构建的相似三角形求出BQ边上的高，由此可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
②当P在AD上运动时，即10≤t≤12时，Q点已停止运动，因此△BPQ的底边BQ的长不会变化，而BQ边上的高为CD的长，也不变，因此此时△BPQ的面积为定值S=
| 1 |
| 2 |
③当P在CD上运动时，即12≤t≤18是，Q点停止运动，BQ长不变，BQ边上的高为PC，PC的长可用AB，AD，CD三边的和减去P点运动的路程来求得．然后根据三角形的面积公式即可求出S，t的函数关系式．
（2）根据（1）的分段函数即可求出不同的自变量的取值范围内，S的最大值，然后比较即可得出S的最大值及对应的t的值．
解答：
解：（1）过点A作AM⊥BC于M，则AM=CD=6，
∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=6，
∴BM=
=
=8，
∴AD=MC=2，
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB
∴
=
∴
=
∴PN=
t
ⅰ当点P在BA上运动时
S=
•BQ•NP=
t•
t=
t2（0≤t≤10）
ⅱ当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6
S=
•BQ•NP=
×10×6=30（10≤t≤12）
ⅲ当点P在DC上运动时
S=
•BQ•CP=
×10×（10+2+6-t）=-5t+90（12≤t≤18）．
（2）ⅰ当0≤t≤10时，S=
t2，S随t的增大而增大
则当t=10时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
ⅱ当10≤t≤12时，面积不变，S=30
ⅲ当12≤t≤18时，S=-5t+90，S随t的增大而减小．
则当t=12时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
综上所述，当10≤t≤12时，△PBQ的面积最大，最大面积为30cm2．
解：（1）过点A作AM⊥BC于M，则AM=CD=6，∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=6，
∴BM=
| AB2-AM2 |
| 102-62 |
∴AD=MC=2，
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB
∴
| PN |
| AM |
| BP |
| BA |
∴
| PN |
| 6 |
| t |
| 10 |
∴PN=
| 3 |
| 5 |
ⅰ当点P在BA上运动时
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
ⅱ当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
ⅲ当点P在DC上运动时
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）ⅰ当0≤t≤10时，S=
| 3 |
| 10 |
则当t=10时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
ⅱ当10≤t≤12时，面积不变，S=30
ⅲ当12≤t≤18时，S=-5t+90，S随t的增大而减小．
则当t=12时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
综上所述，当10≤t≤12时，△PBQ的面积最大，最大面积为30cm2．
点评：本题主要考查了直角梯形的性质、相似三角形的应用、二次函数的应用等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
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