Question

【题目】（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：

如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；

（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；

（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝；（3）BP＝．

【解析】

（1）过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；

(2)连接BD，根据矩形的性质得出BD的长，再根据结论（1）得出，进而可求出EF的长.

（3）过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．根据矩形的性质得到AD、CD的长，由结论（1）可得出DG的长，再由勾股定理得出AG的长，然后根据翻折的性质结合勾股定理得出四边形HGPF是矩形，进而得出FH的长度，最后根据相似三角形得出BJ、PJ的长度就可以得出BP的长度.

（1）如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，

∴AP＝EF，GH＝BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠BAT+∠ABT＝90°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，

∴∠ABT+∠CBQ＝90°，

∴∠BAP＝∠CBQ，

∴△ABP∽△BCQ，

∴,

∴.

（2）如图②中，连接BD．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，

∴BD＝,

∵D，B关于EF对称，

∴BD⊥EF，

∴ ,

∴ ,

∴EF＝ .

（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，

∴= ,

∴DG＝，

∴AG＝＝1，

由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，

在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，

∴x2＝AG2+AE2，

∴x2＝（3﹣x）2+1，

∴x＝，

∴DE＝EG＝，

∵FH⊥EG，

∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，

∴四边形HGPF是矩形，

∴FH＝PG＝CD＝2，

∴EH＝，

∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，

∵PF∥EG，EA∥FB，

∴∠AEG＝∠JPF，

∵∠A＝∠FJP＝90°，

∴△AEG∽△JFP，

∴，

∴，

∴FJ＝，PJ＝，

∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，

在Rt△BJP中，BP＝．