Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点D在弦AC上，DE⊥AB于E．
求证：AD•AC=AE•AB．

Answer 1

证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴，
∴AD•AC=AE•AB．
分析：先连接BC，构造相似三角形，△ADE和△ABC，由AB是直径，可得∠ACB=90°，而DE⊥AB，∠AED=90°，再加上一个公共角，那么两组对应角相等，两三角形相似．再有相似三角形的性质可得比例线段，从而得证．
点评：本题利用了直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质等知识．