Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；

（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=x2-2x；(2)BC=m-1;(3) P的坐标为（）

【解析】分析：（1）由对称轴公式，以及已知顶点C坐标，利用待定系数法确定出解析式即可；

（2）设出P坐标，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，表示出PN，ON，OM，利用比例表示出BM，进而表示出BC即可；

（3）设出P坐标，由两三角形面积相等得到AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，列出关于t的方程，求出方程的解确定出t的值，即可求出P坐标．

详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x；

（2）∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为：m2﹣2m，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，∴BM=m﹣2．∵点C的坐标为（1，﹣1），∴BC=m﹣2+1=m﹣1；

（3）令P（t，t2﹣2t）．∵△ABP的面积等于△ABC的面积，∴AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），∴P的坐标为（1+，1）．