Question

（2013•惠山区一模）已知二次函数y=ax²+bx+3的图象经过（1，

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4

），（2，

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2

）两点，与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象；
（2）求线段AB的中垂线的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）将（1，

21

4

），（2，

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2

）代入y=ax²+bx+3，利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可画出这个二次函数的图象；
（2）根据二次函数的解析式为y=-x²+

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4

x+3，求出A、B两点的坐标．连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于M，交OA于N，则点M为AB的中点，根据中点坐标公式得到M点坐标为（2，

3

2

）．设N点坐标为（x，0），则ON=x，根据线段垂直平分线的性质得出AN=BN=4-x，然后在直角△OBN中，由勾股定理得出OB²+ON²=BN²，求出x的值，得到N点坐标为（

7

8

，0）．设直线MN的解析式为y=mx+n，将M，N两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+3的图象经过（1，

21

4

），（2，

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2

）两点，
∴将两点坐标代入二次函数解析式，
得：

a+b+3= 21 4 4a+2b+3= 11 2

，
解得：

a=-1 b= 13 4

，
∴此二次函数的解析式为y=-x²+

13

4

x+3．
图象如右所示：

（2）解方程-x²+

13

4

x+3=0，
即4x²-13x-12=0，
解得x₁=4，x₂=-

3

4

．
∵抛物线y=-x²+

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4

x+3与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B，
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）．
连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于M，交OA于N，连接BN，则点M为AB的中点，其坐标为（2，

3

2

）．
设N点坐标为（x，0），则ON=x，AN=BN=4-x，
在△OBN中，∵∠BON=90°，OB=3，ON=x，BN=4-x，
∴OB²+ON²=BN²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=

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8

，
∴N点坐标为（

7

8

，0）．
设直线MN的解析式为y=mx+n，
将M（2，

3

2

），N（

7

8

，0）代入，
得

2m+n= 3 2 7 8 m+n=0

，
解得

m= 4 3 n=- 7 6

，
∴直线MN的解析式为y=

4

3

x-

7

6

．
即线段AB的中垂线的函数解析式为y=

4

3

x-

7

6

．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，中点坐标公式，线段垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中．