Question

（2013•遵义）如图，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为双曲线y=

k

x

（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为

（2，4）或（8，1）

．

Answer 1

分析：把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，

8

a

），然后根据S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．

解答：解：∵点B（-4，-2）在双曲线y=

k

x

上，
∴

k

-4

=-2，
∴k=8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称，
所以，A（4，2），
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，

8

a

），
若S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=

1

2

×8+

1

2

×（2+

8

a

）（4-a）-

1

2

×8，
=4+

16-a2

a

-4，
=

16-a2

a

，
∵△AOC的面积为6，
∴

16-a2

a

=6，
整理得，a²+6a-16=0，
解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
∴

8

a

=

8

2

=4，
∴点C的坐标为（2，4）．
若S_△AOC=S_△AOE+S_梯形ACFE-S_△COF=

a2-16

a

，
∴

a2-16

a

=6，
解得：a=8或a=-2（舍去）
∴点C的坐标为（8，1）．
故答案为：（2，4）或（8，1）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作辅助线并表示出△ABC的面积是解题的关键．