Question

如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点且与反比例函数y=

m

x

 (m≠0)的图象在第一象限交于C点，CD⊥x轴于D点，若∠CAD=45°，AB=2

2

，CD=

7

2

（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）反比例函数的解析式；
（4）求△BCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意得到三角形AOB为等腰直角三角形，由斜边求出直角边AO与OB的长，即可确定出A与B的坐标，而三角形ACD为等腰直角三角形，由CD的长求出AD的长，由AD-OA求出OD的长，确定出D的坐标；
（2）由C与D的横坐标相同，确定出C的坐标，将A与C的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（3）将C的坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（4）连接BD，三角形BCD的面积以CD为底，D的横坐标为高，利用三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵∠CAD=45°，AB=2

2

，
∴AO=BO=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∵CD=3.5，
∴AD=3.5，OD=AD-OA=3.5-2=1.5，
∴D（1.5，0），
则C（1.5，3.5）；
（2）将A与C坐标代入一次函数解析式得：

-2k+b=0 1.5k+b=3.5

，
解得：

k=1 b=2

，
则一次函数解析式为y=x+2；
（3）将C坐标代入反比例解析式得：1.5=

m

3.5

，即m=

21

4

，
则反比例解析式为y=

21

4x

；
（4）连接BD，CD=3.5，OD=1.5，
则S_△BCD=

1

2

CD•|x_D|=

1

2

×3.5×1.5=

21

8

．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及等腰直角三角形的性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键．