Question

如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②∠BFC=90°+∠BAC；
③△ADE的周长为AB+AC；
④AF平分∠BAC．

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①②
3. C.
   ①②③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；
②利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式；
③由①可得△ADE的周长为AB+AC；
④三角形的三条角平分线交于一点，可知AF平分∠BAC．
解答：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°-----（1）
在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°
即∠CFB+∠ABC+∠ACB=180°----（2）
（2）×2-（1）得②∠BFC=90°+∠BAC；
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD=DF，EF=EC，
△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；
④∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点
∴第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．