题目内容

已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为 $数学公式$ ，确定m的值．

解：（1）若m为定值，设二次函数解析式为y=ax²+bx+m，
把A（1，0）和B（2，1）代入上式，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
则二次函数解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，
则 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m=0有两个不相等的实数根，
故△＞0，
即（- $\text{[math]}$ ）²-4× $\text{[math]}$ m＞0，
整理得，m²-2m+1＞0，
（m-1）²＞0，
解得m≠1；
$\text{[math]}$ ≠0，
解得m≠-1；
则m的取值范围为m≠±1；

（3）设二次函数y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
令 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m=-x+1，
整理，得（m+1）x^2_--（3m-1）x+2m-2=0，
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ；
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（ $\text{[math]}$ ）²-4× $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²；
∵y=-x+1，
∴y₁-y₂=（-x₁+1）-（-x₂+1）=-（x₁-x₂），
∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（ $\text{[math]}$ ）²；
又∵MN=2 $\text{[math]}$ ，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（2 $\text{[math]}$ ）²，
∴2（ $\text{[math]}$ ）²=8，
∴ $\text{[math]}$ =±2，
∴m₁=-5，m₂= $\text{[math]}$ ．
故所求m的值为-5或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为m，所以可设二次函数解析式为y=ax²+bx+m，把A（1，0）和B（2，1）代入，运用待定系数法即可求出此二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m；
（2）由于二次函数为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m=0的判别式△＞0且 $\text{[math]}$ ≠0，由此可求出m的取值范围；
（3）设二次函数y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），先由一元二次方程根与系数的关系求出（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（ $\text{[math]}$ ）²，再根据线段MN的长为2 $\text{[math]}$ ，运用两点间的距离公式（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=MN²，即可求出m的值．
点评：本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系及两点间的距离公式，综合性较强，有一定难度．