Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D点，E为BC的中点，连接ED并延长交BA延长线于F点．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=1，求线段AF的长；
（3）当D为EF的中点时，试探究线段AB与BC之间的数量关系．

Answer 1

证明：（1））连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E为BC的中点，
∴DE=EB=EC，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（2）设AF=x，则FD==（切割线定理），
在RT△ABD中，BD==2，
∵∠AFD=∠DFB，∠FDA=∠FBD，
∴△AFD∽△DFB，
∴==，即=，
解得：x=，即线段AF的长度为；

（3）∵点D为EF中点，
∴BD=FD=DE（斜边中线等于斜边一半），
又∵ED=EB（切线的性质），
∴△EDB为等边三角形，
∴∠DBE=60°，∠BCD=30°，
∴BC=AB；
分析：（1）连接BD，DO，则可得∠ODA=∠OAD，结合直径所对的圆周角为90°，可得∠ADB=90°，从而可证明OD⊥DE，也可得出结论．
（2）设AF=x，则FD==（切割线定理），在RT△ABD中，求出BD，然后判断△AFD∽△DFB，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解出即可得出答案；
（3）根据切线的性质及直角三角形中斜边中线等于斜边一半可判断出△DEB为等边三角形，然后可得出∠BCD=30°，继而可得出线段AB与BC之间的数量关系．
点评：此题属于圆的综合题，涉及了解直角三角形、切割线定理切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，考察的知识点较多，解答第二问是本题的难点，关键是表示用AF表示出FD，难度较大．