Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于， ， 三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接， ．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．

（）填空： __________， __________．

（）在点， 运动过程中， 可能是直角三角形吗？请说明理由．

（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由．

（）如图②，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）不可能是直角三角形．理由见解析；（3）；（4）．

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．

试题解析：

（）设抛物线解析式为．

将代入得．

∴， ．

（）在、运动过程中， 不可能是直角三角形．

理由如下，连结．

∵在、运动过程中， ， 为锐角，

∴当是直角三角形时， ．

∵， ， ．

∴， ．

∴．

由勾股定理得： ．

∴， ．

∴．

∴．

解得．

又∵由题可得，

∴不成立．

∴不可能是直角三角形．

（）作平行于， 交于．

于点，延长到，使．

作交抛物线于点．

∵．

∴，

∴．

∴， ．

∵≌．

∴．

∵是等腰直角三角形．

∴≌．

∴．

∴．

∴．

解得．

∵．

∴．

（）如图所示：连结，取的中点．

连结， ．延长交线段与点．

∵点为的中点，点为的中点．

∴， ，

∵， ．

∴点为的中点．

又∵为的中点．

∴．

∴．

∴．

∵．

∴．

∴．即是的平分线．

设直线的解析式为．把点， ．

代入得： ．

解得： ， ．

∴直线的表示为．

同理可得直线的表达式为．

设直线的函数表达式为，将点的坐标代入得：

．解得： ．

∴直线的表达式为．

将直线和直线的表达式联立得：

，解得： ， ．

∴．