Question

如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，
则：①BC=2BE；②∠A=∠EDA；③BC=2AD；④BD⊥AC
上述结论中正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．
解答：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥BC且BC=2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE=AE，
∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故①正确；
∴AB=BC，
∴∠A=∠C=∠EDA，故②正确；
∵AE=DE，与AD不一定相等，故③不一定成立；
∵AB=BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，故本④正确，
∴正确的结论有3个，
故选C．
点评：本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．