Question

已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，则点P的坐标为

（2，-3）

；
（2）△ABP的周长等于

5

2

+

26

．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，设抛物线与x轴的另一交点为C，根据函数解析式即可求得C的坐标，在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．
（2）由（1）可得△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+BC，代入计算即可．

解答：解：（1）将点A、点B的坐标代入，得

a+4+c=0 c=-5

，
解得：

a=1 c=-5

，
故二次函数解析式为y=x²-4x-5，对称轴方程为：x=2，
令y=0，则x²-4x-5=0，
解得：x₁=-1，x₂=5，
则抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（5，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将点B、C的坐标代入得：

5k+b=0 b=-5

，
解得：

k=1 b=-5

，
即直线BC的解析式为：y=x-5，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴点P的坐标为（2，-3）．

（2）AB=

OA2+OB2

=

26

，BC=

OB2+OC2

=

52+52

=5

2

，
则△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+BC=5

2

+

26

．
故答案为：（2，-3），5

2

+

26

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键．