题目内容
如图，已知AB为⊙O的直径，C为圆上一点，且AC=3，BC=4．CD平分∠ACB，则CD的长为4
| 2 |
4
．| 2 |
分析：作CH⊥AB于H，连结OD、AD、BD，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADB=90°，则根据勾故定理可计算出AB=5，由CD平分∠ACB，得弧AD=弧BD，所以AD=BD，可判断△ABD为等腰直角三角形，所以OD=
，利用面积法可计算出CH=
，利用勾股定理可计算出AH=
，则OH=OA-AH=
，由CH∥OD得到△ECH∽△EDO，根据相似的性质得EH：EO=CH：OD=24：25，所以EH=
，OE=
，在Rt△EHC中利用勾股定理计算出CE=
，在Rt△OEH中计算出DE=
，所以CD=CE+DE=4
．
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| 12 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
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| 35 |
| 5 |
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12
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16
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解答：解：作CH⊥AB于H，连结OD、AD、BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴AB=
=5，
∵CD平分∠ACB，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD=
AB=
，
∵
AC•BC=
CH•AB，
∴CH=
，
在Rt△ACH中，AH=
=
，
∴OH=OA-AH=
，
∵CH∥OD，
∴△ECH∽△EDO，
∴EH：EO=CH：OD=24：25，
∴EH=
×
=
，OE=
，
在Rt△EHC中，CE=
=
，
在Rt△OEH中，DE=
=
，
∴CD=CE+DE=4
．
故答案为4
．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴AB=
| AC2+BC2 |
∵CD平分∠ACB，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD=
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| 2 |
| 5 |
| 2 |
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴CH=
| 12 |
| 5 |
在Rt△ACH中，AH=
| AC2-CH2 |
| 9 |
| 5 |
∴OH=OA-AH=
| 7 |
| 10 |
∵CH∥OD，
∴△ECH∽△EDO，
∴EH：EO=CH：OD=24：25，
∴EH=
| 24 |
| 49 |
| 7 |
| 10 |
| 12 |
| 35 |
| 5 |
| 14 |
在Rt△EHC中，CE=
| CH2+HE2 |
12
| ||
| 7 |
在Rt△OEH中，DE=
| OE2+OD2 |
16
| ||
| 7 |
∴CD=CE+DE=4
| 2 |
故答案为4
| 2 |
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定与性质．
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