Question

如图，△ABC中，∠C=90゜，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．
（1）求⊙I的半径； 
（2）求OI的长．

Answer 1

分析：（1）首先设⊙I的半径为r，由△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，可求得AB的长，又由S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

（AB+AC+BC）•r，即可求得答案；
（2）首先设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，由切线长定理可求得BD的长，又由点O为△ABC的外心，可求得OB的长，即可求得OD的长，然后由勾股定理求得答案．

解答：解：（1）设⊙I的半径为r，
∵△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

（AB+AC+BC）•r，
∴r=

AC•BC

AB+AC+BC

=2；

（2）设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，
∴∠IEC=∠IFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE=IF，
∴四边形IECF是正方形，
∴CE=IE=2，
∴BD=BE=BC-CE=6-2=4，
∵点O为△ABC的外心，
∴AB是直径，
∴OB=

1

2

AB=5，
∴OD=OB-BD=5-4=1，
∴OI=

OD2+ID2

=

5

．

点评：此题考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．