Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_nB_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是

 

．

Answer 1

分析：由题意n为自然数，抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_nB_n两点，关键是把方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0分解因式，求出方程的解，从而发现规律来解题．

解答：解：∵抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_nB_n两点，
∴令y=0得，x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0
∴方程分解为：（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0，
∴A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

．

点评：解此题的关键是要会分解因式，找出A_nB_n的表达式，此题此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题．