Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E．
（1）若AB=AD+2BE，求证：BC=DC；
（2）若∠B=60°，AC=7，AD=6，三角形ADC的面积为

15 3

2

，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）在AB上取点F，使得EF=BE，然后根据已知条件可以推出△AFC≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据三角形ADC的面积

15 3

2

和AC=7，AD=6可以求出∠DAC的正弦值，而AC平分∠DAB，由此可以利用三角函数求出CE，再利用勾股定理即可求出AE、BE，最后求出AB．

解答：（1）证明：如图，在AB上取点F，使得EF=BE，
∵CE⊥AB，
∴FC=BC，
∵AB=AD+2BE，而AB=AF+2BE，
∴AD=AF．
在△AFC和△ADC中，
AD=AF，∠CAF=∠CAD，AC=AC，
∴△AFC≌△ADC．
∴DC=FC．
∴BC=DC．

（2）解：在△ADC中，∵S_△ADC=

1

2

×6×7sin∠DAC=

15 3

2

，
∴sin∠DAC=

5 3

14

，而AC平分∠DAB．
∴

5 3

14

=

CE

7

．
∴CE=

5 3

2

．
∴AE=

AC2-CE2

=

11

2

．
∴BE=

5

2

．
∴AB=AE+EB=8．

点评：此题考查应用解直角三角形、直角三角形性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．