Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点。

（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）
（2）
（3）点与点都在抛物线上

解：（1）过点作轴，垂足为，


；    
又，
，……（2分）

点的坐标为；……（2分）
（2）抛物线经过点，则得到，  
解得，
所以抛物线的解析式为；……（2分）
（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，
；

，可求得点；    ……（3分）
若以点为直角顶点；
则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，同理可证；
，可求得点；
经检验，点与点都在抛物线上。……（3分）