Question

（2009•上海模拟）如图，已知直线y=kx+2经过点P（1，

5

2

），与x轴相交于点A；抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A和点P，顶点为M．
（1）求直线y=kx+2的表达式；
（2）求抛物线y=ax²+bx的表达式；
（3）设此直线与y轴相交于点B，直线BM与x轴相交于点C，点D的坐标为（

8

3

，0），试判断△ACB与△ABD是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知点P的坐标，利用待定系数法能确定直线AB的解析式．
（2）首先根据直线AB的解析式求出点A的坐标，点P的坐标已知，利用待定系数法求解即可．
（3）△ACB和△ABD中，已知的条件是一个公共角，若两者相似，那么夹公共角的两组对应边成比例，即只需判断是否满足AB²=AC•AD的条件即可．

解答：解：（1）将点P（1，

5

2

）代入直线y=kx+2中，得：
k+2=

5

2

，k=

1

2

；
∴直线AB的解析式：y=

1

2

x+2．

（2）由直线AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
将点A（-4，0）、P（1，

5

2

）代入y=ax²+bx（a＞0）中，得：

16a-4b=0 a+b= 5 2

，解得

a= 1 2 b=2

∴抛物线的解析式：y=

1

2

x²+2x．

（3）由（2）的抛物线知：点M（-2，-2）；
由于直线BM经过点B（0，2），设该直线的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直线BM：y=2x+2，得点C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB²=OA²+OB²=20；
由C（-1，0）、D（

8

3

，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+

8

3

）=20；
∴AB²=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．

点评：该题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式以及相似三角形的判定．题目的难度不大，重点在于考查基础知识的掌握程度．