Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G.

(1)求证：BE⊥CF；

(2)若AB＝3，BC＝5，CF＝2，求BE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) BE＝4.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB=∠ABC+∠DCB=90°，进而可得BE⊥CF；

（2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO=EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．

试题解析：（1）∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，

∴∠CBE＝∠ABC，∠BCF＝∠BCD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABC＋∠BCD＝180°，

∴∠CBE＋∠BCF＝ (∠ABC＋∠BCD)＝90°，

∴∠CGB＝90°，

∴BE⊥CF.

(2)过点E作EP∥FC，交BC的延长线于点P，

则易证四边形CPEF是平行四边形，所以EP＝CF＝2，

.∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE.

在ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE＝3.

同理可得DF＝DC＝3，

∴EF＝AE＋DF－AD＝1，

∴CP＝EF＝1.

又由(1)已证得BE⊥CF，

∴BE⊥EP，

∴在Rt△BPE中，BE2＋EP2＝BP2，即BE2＋22＝62，

所以BE＝4.